ムーア・ペンローズ一般逆行列と多項式曲線による

データフィッティング - MATLAB companion

１．一般逆行列とは

線形代数では，良く知られているように逆行列という概念がある． 行列 A に対して，

（ただし は n次単位行列）をみたすような 行列 B が存在する場合，A は可逆あるいは正則という．このような B が存在するならば，B は一意的である．すなわち，もし をみたすような 行列 Cが存在するならば， である．そこで，B を A の逆行列といい，通常 B を で表す．

ただし，すべての 行列 が可逆であるとは限らない．たとえば は可逆ではない．

しかし，実際問題として現れる行列はしばしば可逆ではない．あるいは非正方行列，すなわち 行列で， である．このような場合に逆行列を一般化した一般逆行列がある．

A を 行列とする． 行列 で，

この定理の証明は p.8 記載の文献 [A] の定理15.1 を参照．一意性がないことについては，次の例がある． は可逆ではないが， （aは任意の実数）は A の一般逆行列になっている．

A = [1 1 1; 0 1 0; 1 2 1];

syms a;

B = [1 -1 0; 0 1 0; -a -a a];

C = A*B*A-A;

disp(C)

行列 A が可逆（あるいは正則）であるとする．このとき，A の一般逆行列 は逆行列になっている．したがって，一般逆行列は一意的に定まる．このことを証明せよ．

２．ムーア・ペンローズ一般逆行列

一般逆行列の中で，特に有用なのがムーア・ペンローズの一般逆行列である．詳しくは以下に述べるが，ムーア・ペンローズ一般逆行列は，任意の 行列に対して存在し，しかも一意的に定まることが知られている．まずムーア・ペンローズの一般逆行列の定義をする．

A を 行列とする． 行列 が次の条件 (1)～(4) をみたすとき，A のムーア・ペンローズ一般逆行列という．

(1)

(2)

(3) （ここで ∗ は行列の転置をしてから各成分の複素共役をとる操作を表す）

(4)

A を 行列とする．A のムーア・ペンローズ一般逆行列がただ一つ存在する．

３．ムーア・ペンローズ一般逆行列と最小2乗解

N 次元縦ベクトル に対して， をそのユークリッドノルムという．N 次元縦ベクトル（各成分は複素数でもよい）全体のなす集合を により表す．

A を 行列とし，b を m 次元縦ベクトルとする．このとき，もし

をみたす n 次元縦ベクトル が存在するとき，これを方程式 の最小 2 乗解という．もちろん方程式 の解が存在するならば，すなわち をみたす x が存在するならば，明らかにこれは最小 2 乗解になっている．問題はこの方程式が解を持たない場合である．

A を 行列とし，b を m 次元縦ベクトルとする． とすると， は方程式 の最小 2 乗解である．特に は の最小2乗解のうち，ノルム最小のものを与える．

４．ムーア・ペンローズ一般逆行列の構成方法

　A を 行列とする．

Step 1. A の特異値標準形を求める．すなわち， とし，その 0 でない特異値 を求める．対角行列 を作る．特異値標準化のアルゴリズム（[3], [1] 参照）により

をみたす ユニタリー行列 Uと ユニタリー行列Vを作る．ここで は 零行列である．

Step 2. の逆行列 を作る．

Step 3. がムーア・ペンローズ一般逆行列 である．

５．一般逆行列を求める MATLAB コード

A を 行列とし，b を m 次元縦ベクトルとする．このとき

多項式曲線によるデータフィッティング

データ が与えられたとき，これにフィットする多項式曲線を求める．

とする．たとえば

データが のとき，

として

のノルム最小の最小2乗解を とし，

とすれば，これが求める曲線となる．この多項式曲線を上掲のデータに対して具体的に求めていこう．

lenx=length(x);

X = ones(lenx,p+1);

for j=1:lenx

for i=1:p

X(j,i+1) = x(j)^i;

end

end

a = LeastMeanSol(X,y');

syms t f(t)

f(t) = a(1);

for i=1:p

f(t) = f(t)+a(i+1)*t^i;

end

 

syms s

f(s)

ans = 

plot(x,y,'x','LineWidth',1.5,"Color",'b')

figure

xx=1:0.01:x(end);

%plot(x,yy,'x','LineWidth',1.5,"Color",'w')

%hold on

plot(xx,f(xx),'LineWidth',2,"Color",'r')

hold on

plot(x,y,'x','LineWidth',2,"Color",'b')

hold off